Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

    Belépés
    címtáras azonosítással
    vissza a tantárgylistához   nyomtatható verzió    

    Felsőbb matematika villamosmérnököknek - Haladó lineáris algebra

    A tantárgy angol neve: Advanced Mathematics for Electrical Engineers - Linear Algebra

    Adatlap utolsó módosítása: 2023. április 8.

    Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
    Villamosmérnöki és Informatikai Kar
    Tantárgykód Szemeszter Követelmények Kredit Tantárgyfélév
    TE90MX78   4/0/0/v 5  
    3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Nagy Gábor Péter,
    4. A tantárgy előadója

    Név:

    Beosztás:

    Tanszék, Intézet:

    Dr. Nagy Gábor Péter

    egyetemi tanár

    TTK Algebra Tanszék

    Dr. Wettl Ferenc

    egyetemi docens

    TTK Algebra Tanszék

    Dr. Kiss Sándor

    egyetemi docens

    TTK Algebra Tanszék

    5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít BSc matematika
    6. Előtanulmányi rend
    Kötelező:
    NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX30" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény("BMETE90MX30", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0
    VAGY
    TárgyEredmény( "BMETE90MX54" , "jegy" , _ ) >= 2
    VAGY
    TárgyEredmény("BMETE90MX54", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

    A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

    A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

    7. A tantárgy célkitűzése A tantárgy a lineáris algebra azon fejezeteibe nyújt bevezetést, amelyek fontosak a haladó mérnöki tanulmányok szempontjából. Fontos cél, hogy a hallgatók alkalmazni tudják a lineáris algebra módszereit, eszközeit a felmerülő szakmai problémák megoldása során. A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő hallgatótól elvárható, hogy értse, és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tanult fogalmakat, ismereteket, a gyakorlatban felmerülő helyzetekben ismerje fel a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit, legyen képes a szakirodalomra támaszkodva önállóan bővíteni a kapcsolatos ismereteit.
    8. A tantárgy részletes tematikája
    A lineáris algebra eddig tanult alapfogalmainak áttekintése.
    Vektortér, mátrix, lineáris egyenletrendszer és megoldása. Mátrix determinánsa, rangja, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, Cayley-Hamilton-tétel, hasonlóság. Bilineáris formák, euklideszi terek. Speciális mátrixok (szimmetrikus, Hermite-, ortogonális, unitér, (szemi-definit). Jordan-normálforma, főtengelytétel.
     
    A Moore-Penrose-inverz és alkalmazásai.
    Projekciók. Az általánosított inverz mátrix fogalma, a Moore-Penrose-tétel. Inkonzisztens lineáris egyenletrendszerek közelítő megoldása.     Nevezetes lineáris mátrixegyenletek (AXB=C, AX-XB=C, AX-YB=C) és megoldásuk az MP-inverz segítségével.
     
    Normák és mátrixfüggvények.
    A spektrális és az euklideszi (Frobenius-) mátrixnorma, p-normák, kapcsolatuk, egyenlőtlenségek. Sajátértékekre vonatkozó egyenlőtlenségek (Gersgorin, Schur). Alul- és túlhatározott lineáris egyenletrendszerek. Legkisebb négyzetek módszere. Mátrixfüggvények, előállításuk polinomokkal, a mátrix-exponenciális. Mátrixfüggvények differenciálása,     lineáris differenciálegyenlet-rendszerek. A Lax-egyenlet.

    Nem negatív elemű mátrixok.
    Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius-König-tétel.

    Optimalizálás, lineáris mátrixegyenlőtlenségek.
    Lineáris mátrix egyenlőtlenségek, alkalmazási példák (stabilitás, SV-minimalizálás, Leontyev-modell). Megoldásuk ellipszoid-módszerrel és belső pontos algoritmusokkal.

    Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD).
    Az SVD létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart-Young-tétel. Az SVD számítása. Az SVD néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

    További alkalmazások.
    Nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban. SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai).

    Véges testek és alkalmazásaik.
    Véges test konstrukciója, az aritmetika implementációja. Az additív és a multiplikatav csoport struktúrája. Polinomok gyökei, irreducibilitás. Általánosított Fibonacci-sorozatok. Lineáris visszacsatolásos léptetőszámlálók, periódus, álzaj. Galois-számlálók és alkalmazásaik.

    A hibajavító kódolás alapfogalmai.
    Lineáris kódok, paraméterek, Singleton-korlát, gömbpakolási korlát, MDS kódok. A Reed-Solomon-kód paraméterei, a Berlekamp-Massey hibajavító algoritmus. Résztest részkódok, kód alapú posztkvantum kriptográfia.
    9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium) A tárgyhoz csak előadások tartoznak.
    10. Követelmények

    A szorgalmi időszakban két zárthelyi sikeres (legalább 40%-os) megírása szükséges az aláírás megszerzéséhez.
    A vizsgaidőszakban írásbeli vizsga. A vizsga sikeres, ha a vizsgadolgozat is eléri a 40%-ot.
    A vizsgajegybe 40%-ban a félévközi dolgozatok eredménye, 60%-ban pedig a vizsgadolgozat eredménye számít be.

    11. Pótlási lehetőségek Mindkét félévközi dolgozat egy-egy alkalommal pótolható.  
    12. Konzultációs lehetőségek Szükség esetén a számonkérések előtt a hallgatókkal egyeztetve.
    13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

    [1]  V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

    [2]  Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

    [3]  Halmos Pál: Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Kiadó, 1984.

    [4]  Wettl Ferenc: Lineáris algebra, online jegyzet.

    14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka
    Kontakt óra56
    Félévközi készülés órákra28
    Felkészülés zárthelyire26
    Házi feladat elkészítése
    Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
    Vizsgafelkészülés40
    Összesen
    15. A tantárgy tematikáját kidolgozta TTK Algebra Tanszék