BME VIK - Felsőbb matematika villamosmérnököknek

A tantárgy angol neve: Advanced Mathematics for Electrical Engineers - Linear Algebra

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Nagy Gábor Péter,

4. A tantárgy előadója

Név:	Beosztás:	Tanszék, Intézet:
Dr. Nagy Gábor Péter	egyetemi tanár	TTK Algebra Tanszék
Dr. Wettl Ferenc	egyetemi docens	TTK Algebra Tanszék
Dr. Kiss Sándor	egyetemi docens	TTK Algebra Tanszék

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít BSc matematika

6. Előtanulmányi rend

Kötelező:

NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX30" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX30", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0
VAGY
TárgyEredmény( "BMETE90MX54" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX54", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

7. A tantárgy célkitűzése A tantárgy a lineáris algebra azon fejezeteibe nyújt bevezetést, amelyek fontosak a haladó mérnöki tanulmányok szempontjából. Fontos cél, hogy a hallgatók alkalmazni tudják a lineáris algebra módszereit, eszközeit a felmerülő szakmai problémák megoldása során. A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő hallgatótól elvárható, hogy értse, és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tanult fogalmakat, ismereteket, a gyakorlatban felmerülő helyzetekben ismerje fel a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit, legyen képes a szakirodalomra támaszkodva önállóan bővíteni a kapcsolatos ismereteit.

8. A tantárgy részletes tematikája

A lineáris algebra eddig tanult alapfogalmainak áttekintése.
Vektortér, mátrix, lineáris egyenletrendszer és megoldása. Mátrix determinánsa, rangja, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, Cayley-Hamilton-tétel, hasonlóság. Bilineáris formák, euklideszi terek. Speciális mátrixok (szimmetrikus, Hermite-, ortogonális, unitér, (szemi-definit). Jordan-normálforma, főtengelytétel.

A Moore-Penrose-inverz és alkalmazásai.
Projekciók. Az általánosított inverz mátrix fogalma, a Moore-Penrose-tétel. Inkonzisztens lineáris egyenletrendszerek közelítő megoldása. Nevezetes lineáris mátrixegyenletek (AXB=C, AX-XB=C, AX-YB=C) és megoldásuk az MP-inverz segítségével.

Normák és mátrixfüggvények.
A spektrális és az euklideszi (Frobenius-) mátrixnorma, p-normák, kapcsolatuk, egyenlőtlenségek. Sajátértékekre vonatkozó egyenlőtlenségek (Gersgorin, Schur). Alul- és túlhatározott lineáris egyenletrendszerek. Legkisebb négyzetek módszere. Mátrixfüggvények, előállításuk polinomokkal, a mátrix-exponenciális. Mátrixfüggvények differenciálása, lineáris differenciálegyenlet-rendszerek. A Lax-egyenlet.

Nem negatív elemű mátrixok.

Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius-König-tétel.

Optimalizálás, lineáris mátrixegyenlőtlenségek.
Lineáris mátrix egyenlőtlenségek, alkalmazási példák (stabilitás, SV-minimalizálás, Leontyev-modell). Megoldásuk ellipszoid-módszerrel és belső pontos algoritmusokkal.

Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD).
Az SVD létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart-Young-tétel. Az SVD számítása. Az SVD néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

További alkalmazások.
Nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban. SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai).

Véges testek és alkalmazásaik.
Véges test konstrukciója, az aritmetika implementációja. Az additív és a multiplikatav csoport struktúrája. Polinomok gyökei, irreducibilitás. Általánosított Fibonacci-sorozatok. Lineáris visszacsatolásos léptetőszámlálók, periódus, álzaj. Galois-számlálók és alkalmazásaik.

A hibajavító kódolás alapfogalmai.
Lineáris kódok, paraméterek, Singleton-korlát, gömbpakolási korlát, MDS kódok. A Reed-Solomon-kód paraméterei, a Berlekamp-Massey hibajavító algoritmus. Résztest részkódok, kód alapú posztkvantum kriptográfia.

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium) A tárgyhoz csak előadások tartoznak.

10. Követelmények

A szorgalmi időszakban két zárthelyi sikeres (legalább 40%-os) megírása szükséges az aláírás megszerzéséhez.
A vizsgaidőszakban írásbeli vizsga. A vizsga sikeres, ha a vizsgadolgozat is eléri a 40%-ot.
A vizsgajegybe 40%-ban a félévközi dolgozatok eredménye, 60%-ban pedig a vizsgadolgozat eredménye számít be.

11. Pótlási lehetőségek Mindkét félévközi dolgozat egy-egy alkalommal pótolható.

12. Konzultációs lehetőségek Szükség esetén a számonkérések előtt a hallgatókkal egyeztetve.

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

[1] V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

[2] Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

[3] Halmos Pál: Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Kiadó, 1984.

[4] Wettl Ferenc: Lineáris algebra, online jegyzet.

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka

Kontakt óra	56
Félévközi készülés órákra	28
Felkészülés zárthelyire	26
Házi feladat elkészítése
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
Vizsgafelkészülés	40
Összesen

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta TTK Algebra Tanszék