BME VIK - Gráfok, hipergráfok és alkalmazásaik

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Fleiner Tamás,

4. A tantárgy előadója Dr. Simonyi Gábor egyetemi docens

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít Alapvető gráfelméleti fogalmak, lineáris algebra alapjai

6. Előtanulmányi rend

Kötelező:

NEM ( TárgyEredmény( "BMEVISZMB00" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMEVISZMB00", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

Ajánlott:
Ezt a tárgyat nem vehetik fel, akik a VISZM032 kódú “Gráfok, hipergráfok és alkalmazásaik – matematikusoknak” című tárgyat teljesítették.

7. A tantárgy célkitűzése

A tárgy fő célja a hallgatók gráfelméleti ismereteinek bővítése, a hipergráfok elmélete néhány fontosabb eredményének bemutatása és ezáltal a diszkrét matematikai gondolkodás fejlesztése. Hangsúlyosan be kívánja mutatni a hipergráf fogalom különféle nézőpontjait (gráfok általánosításai, halmazrendszerek, az élek
karakterisztikus vektorainak halmazai, kódok), megismertetni a különböző nézőpontok előnyeit és rutinszerűvé
tenni a közöttük való átjárást. Ezzel összefüggő cél a hallgatók azon készségének fejlesztése, hogy a gyakorlatban felmerülő problémák felvetette elméleti kérdéseket észrevegyék és meg tudják fogalmazni.

8. A tantárgy részletes tematikája

Párosítási és élszínezési eredmények, stabil párosítások, Gale-Shapley tétel és alkalmazása felvételi és egyéb pályázati rendszerekben.

Listaszínezés, listaszínezési sejtés, Galvin-tétel, síkgráfok listaszínezése

Hipergráfok fogalma, nézőpontjai: gráfok általánosításai, halmazrendszerek, 0-1 sorozatok halmazai, bináris kódok

Gráfelméleti eredmények általánosításai: Baranyai tétele, Ryser-sejtés

Nevezetes extremális halmazelméleti eredmények: Sperner-tétel, LYM-egyenlőtlenség, Bollobás-egyenlőtlenség, Ahlswede-Zhang azonosság, Erdős-Ko-Rado tétel, Kruskal-Katona tétel

Ramsey tétele gráfokra és hipergráfokra, geometriai alkalmazások

Lineáris algebra alkalmazására példák: Fisher-egyenlőtlenség, Páratlanváros-tétel, Frankl-Wilson tétel, Graham-Pollak tétel

Erdős-Katona sejtés és Shearer-féle cáfolata, a probléma kódelméleti
interpretálása, bináris szorzócsatorna kapacitástartománya, Frankl-Füredi és
Tolhuizen vonatkozó eredményei.

További geometriai alkalmazások: Chvátal "art gallery" tétele, Borsuk-sejtés Kahn-Kalai-Nilli féle cáfolata

Részben rendezett halmazok, Dilworth-tétel, perfekt gráfok és poliéderes jellemzésük, imperfektségi hányados, kapcsolat frekvenciakiosztási problémákkal.

A gyakorlatokon elsősorban az anyag feladatok megoldásán keresztül való elmélyítése a cél. E feladatok egy része az alkalmazási lehetőségek hangsúlyozására is alkalmat ad.

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium) előadás + gyakorlat

10. Követelmények

szorgalmi időszakban: öt kiszárthelyi (10-15 perces) dolgozat a gyakorlatokon; az aláíráshoz ezekből legalább hármat megfelelt szinten kell teljesíteni

vizsgaidőszakban: szóbeli vizsga

11. Pótlási lehetőségek A kiszárthelyik pótlására nincs mód.

12. Konzultációs lehetőségek Előzetes egyeztetés szerint.

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

A tárgyalandó eredmények közül több megtalálható az alábbi kötetben:

M. Aigner, G. M. Ziegler: Bizonyítások a KÖNYVből, Typotex Kiadó, 2004.

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka

Kontakt óra	42
Félévközi készülés órákra	30
Felkészülés zárthelyire
Házi feladat elkészítése
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
Vizsgafelkészülés	48
Összesen	120

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta Dr. Simonyi Gábor egyetemi docens