Budapest University of Technology and Economics, Faculty of Electrical Engineering and Informatics

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

A tantárgyat sikeresen teljesítő hallgató képes lesz:

• (K3) érteni és alkalmazni a tárgyban előkerülő fogalmakat és ismereteket;
• (K3) önállóan megoldani az anyaghoz kapcsolódó gyakorlati feladatokat;
• (K2) alkalmazni a tárgyban szereplő algoritmusokat;
• (K2) egyes, az anyagba tartozó tételek bizonyítására, az anyagban szereplő algoritmusok helyességének igazolására;
• (K4) a későbbi tanulmányok során felismerni azokat a helyzeteket, ahol a tárgyban tanult ismeretek szerephez jutnak és sikerrel alkalmazni a tanultakat.
  

1-2. A számelmélet alapjai: oszthatóság, prímszám, a számelmélet alaptétele, a prímek számossága, a nagy prímszámtétel. Kongruencia fogalma, alapműveletek kongruenciákkal.

3-4. Lineáris kongruenciák, szimultán kongruenciarendszerek megoldása. Euler-Fermat tétel, kis Fermat-tétel. Polinomiális algoritmus vázlatos fogalma, számelméleti algoritmusok hatékonysága.

5-6. Számelméleti algoritmusok: alapműveletek, hatványozás modulo m, Euklideszi algoritmus a legnagyobb közös osztó kiszámítására és lineáris kongruenciák megoldására, prímtesztelés. Nyilvános kulcsú titkosítás, RSA algoritmus.

7-8. Térbeli koordinátageometria: vektorok a térben, koordinátarendszer, skaláris szorzat. A sík egyenlete. Az egyenes (paraméteres és kanonikus) egyenletrendszere. Rⁿ fogalma, műveletek oszlopvektorokkal.

9-10. Rⁿ alterének fogalma, műveleti zártság. Lineáris kombináció, generátorrendszer és generált altér fogalma, az utóbbi altér volta. Lineáris függetlenség fogalma, a kétféle definíció ekvivalenciája.

11-12. Reláció az alterek lineárisan független rendszereinek, illetve generátorrendszereinek elemszáma között. Bázis és dimenzió fogalma, a dimenzió egyértelműsége, bázis létezése. Bázisban való felírás egyértelműsége, koordinátavektor fogalma.

13-14. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss-eliminációval. Elemi sorekvivalens lépés, lépcsős alak és redukált lépcsős alak fogalma. Reláció az egyenletek és az ismeretlenek száma között egyértelmű megoldhatóság esetén.

15-16. Determináns definíciója, permutációk inverziószáma. A determináns alaptulajdonságai. Determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. (n x n)-es lineáris egyenletrendszer egyértelmű megoldhatóságának jellemzése a determinánssal.

17-18. A kifejtési tétel. Térvektorok vektoriális szorzatának fogalma, annak kapcsolata a determinánssal. Műveletek mátrixok között, egységmátrix, transzponált mátrix. A determinánsok szorzástétele.

19-20. Lineáris egyenletrendszerek Ax=b alakban. Kapcsolat a négyzetes mátrix oszlopainak/sorainak lineáris függetlensége, illetve a determináns között. Az inverz mátrix fogalma, az inverz létezésének szükséges és elégséges feltétele. Az inverz kiszámítása. Mátrix rangjának fogalma, a rang kiszámítása.

21-22. A háromféle rangfogalom egyenlősége. Lineáris leképezés fogalma, leképezés linearitásának szükséges és elégséges feltétele. Lineáris leképezések kompozíciója, addíciós tételek a szinusz és koszinusz függvényekre.

23-24. Lineáris leképezés magtere, képtere, dimenziótétel. Bázistranszformáció, lineáris transzformáció mátrixa adott B bázis szerint, annak kiszámítása.

25-26. Sajátérték és sajátvektor fogalma, a sajátértékek kiszámítása, a karakterisztikus polinom fogalma.

27-28. Ismétlés, összefoglalás, a tanult anyagrészek rendszerezett áttekintése. A szóbeli vizsgára vonatkozó aktuális vizsgatételsor és az egyes vizsgatételekkel kapcsolatos részletes elvárások ismertetése.

Az előadásokon az új elméleti anyag kerül bemutatásra, a tanult fogalmakat, tételeket, bizonyításokat és algoritmusokat példákon, feladatokon keresztül is illusztráljuk. Az anyag önálló
gyakorlása és feladatokban való alkalmazása zajlik a gyakorlatokon. A gyakorlatok mindig szorosan kapcsolódnak a megfelelő előadás anyagához, ezért azokon az előadáson tanult anyag ismerete elvárás a hallgatóktól. Az előadásokon tárgyalt ismeretek elmélyítése a gyakorlatokon zajlik, az itt zajló munka (beleértve a házi feladatok megoldását is) a tanulási folyamat alapvető fontosságú része. Az előadások a legtöbb esetben szorosan épülnek a korábbi hetek anyagára, ezek ismerete nélkül az új anyag általában nem követhető.

Szorgalmi időszakban:

A félév folyamán két zárthelyit íratunk. A félévvégi aláírás megszerzésének (vagyis a vizsgára bocsátásnak) a feltétele mindkét zárthelyin a megszerezhető 60 pontból legalább 24 pont elérése.

Azok a hallgatók, akik egy korábbi félévből érvényes aláírással rendelkeznek, megkísérelhetik újból megírni a zárthelyiket, hogy a korábbi zárthelyik eredményein javítsanak. Erre az esetre az alábbi feltételek vonatkoznak:

• Ha sikerül újra teljesíteni az aláíráshoz szükséges feltételeket, akkor a vizsgajegybe (lásd lentebb) az így kapott eredmény számít bele (akkor is, ha ez rosszabb).
• Ha nem sikerül újra teljesíteni az aláíráshoz szükséges feltételeket, akkor az aláírás nem vész el, de a vizsgajegybe csak az aláírás megszerzéséhez szükséges minimális pontszámot számítjuk be.

Ha egy érvényes aláírással rendelkező hallgató az aktuális félévben legalább egy zárthelyin megjelenik, azt úgy tekintjük, hogy az illető kísérletet tett az aláírás feltételeinek újbóli teljesítésére (és rá a fenti feltételek vonatkoznak). Ellenkező esetben a legutolsó olyan félévbeli teljesítményt vesszük figyelembe, amikor a hallgató megkísérelte az aláírás feltételeinek teljesítését.

Vizsgaidőszakban:

Vizsgára az jelentkezhet, aki érvényes aláírással rendelkezik.

A vizsga ebből a tárgyból szóbeli.

A vizsgajegyet a két zárthelyi eredményéből és a vizsgán nyújtott szóbeli teljesítményből alakítjuk ki olyan módon, hogy abba a zárthelyik átlaga 40 százalék erejéig, a szóbeli vizsga 60 százalék erejéig számít bele. Ha a szóbeli vizsga elégtelen, akkor a vizsgajegy is elégtelen (függetlenül a zárthelyik eredményétől). Ismétlő vizsga esetén a zárthelyiből származó eredmények változatlanul érvényesek.

Részletesebben: a vizsgán kapott végső jegyet meghatározó pontszámot az alábbi képlettel számítjuk ki, ahol zh1 és zh2 az első, illetve második zárthelyin, v pedig a szóbeli vizsgán szerzett pontszám (amelyeknek az értéke maximálisan 60).

végső_pont = 0,4 × min(50,zh1) + 0,4 × min(50,zh2) + 1,2 × min(50,v).

A végső jegy a végső pontszám alapján: 0-39,9: elégtelen, 40-54,9: elégséges, 55-69,9: közepes, 70-84,9: jó, 85-100: jeles.

Elővizsga: nem lehetséges

Ezen kívül biztosítunk egy díjköteles pótlási alkalmat is (a pótlási héten vagy a vizsgaidőszak első hetében), amit fel lehet használni a két zárthelyi közül egy szabadon választottnak (de nem mindkettőnek) a pótlására. A díjköteles pótláson csak azok a hallgatók vehetnek részt, akik a két zárthelyi és a két pótzárthelyi eredményei alapján az aláírást még nem szerezték meg és egy korábbi félévből sem rendelkeznek érvényes aláírással. Így a díjköteles pótlás már nem használható egy korábban sikeresen teljesített zárthelyi eredményének a javítására.

Ugyancsak elérhető a tárgy honlapjáról a tárgyhoz készült, megoldásokat is tartalmazó feladatgyűjtemény: http://cs.bme.hu/bsz1/feladatgyujtemeny

A zárthelyikre való felkészülést az elmúlt több, mint 10 év zárthelyi példasorai és az azokhoz készült pontozási útmutatók segítik, melyek szintén a honlapról érhetők el.

Az IMSc pontok megszerzése a programban nem résztvevő hallgatók számára is biztosított. Az aláírás és a vizsgajegy megszerzése mindenki számára egységes követelmények szerint, a korábban leírtaknak megfelelően történik, ezt az IMSc pontok nem befolyásolják.