BME VIK - Felsőbb matematika villamosmérnököknek A

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék Dr. Rónyai Lajos,

4. A tantárgy előadója

Név:	Beosztás:	Tanszék, Intézet:
Dr. Rónyai Lajos	egyetemi tanár	Algebra Tanszék
Dr. Szabados Tamás	egyetemi docens	Sztochasztika Tanszék
Dr. Székely Balázs	egyetemi adjunktus	Sztochasztika Tanszék
Dr. Tóth Bálint	egyetemi tanár	Sztochasztika Tanszék
Dr. Vetier András	egyetemi docens	Sztochasztika Tanszék

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít

Lineáris algebra és valószínűségszámítás alapjai

6. Előtanulmányi rend

Kötelező:

NEM ( TárgyEredmény( "BMETE90MX54" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX54", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0
VAGY
TárgyEredmény( "BMETE90MX55" , "jegy" , _ ) >= 2
VAGY
TárgyEredmény("BMETE90MX55", "FELVETEL", AktualisFelev()) > 0)

A fenti forma a Neptun sajátja, ezen technikai okokból nem változtattunk.

A kötelező előtanulmányi rend az adott szak honlapján és képzési programjában található.

Ajánlott:
---

7. A tantárgy célkitűzése Haladó lineáris algebra. A tantárgy a lineáris algebra azon fejezeteibe nyújt bevezetést, amelyek fontosak a haladó mérnöki tanulmányok szempontjából. Fontos cél, hogy a hallgatók alkalmazni tudják a lineáris algebra módszereit, eszközeit a felmerülő szakmai problémák megoldása során. A tantárgy követelményeit eredményesen teljesítő hallgatótól elvárható, hogy
– értse, és konkrét feladatokban, példákon alkalmazni tudja a tanult fogalmakat, ismereteket,
– a gyakorlatban felmerülő helyzetekben ismerje fel a tanult módszerek alkalmazási lehetőségeit,
– legyen képes a szakirodalomra támaszkodva önállóan bővíteni a kapcsolatos ismereteit.

Sztochasztika. A valószínűségszámítás és sztochasztikus folyamatok elmélete néhány haladóbb témakörének bemutatása a villamosmérnöki mesterképzésben résztvevő hallgatóknak. A hangsúlyokat a jelenségek megértetésére és az alkalmazásokra helyezzük. Széles körben (a tantárgy témakörén kívül is) alkalmazható technikákat prezentálunk, rávilágítunk más matematikai és matematikán kívüli természettudományos és műszaki területekkel való összefüggésekre. Alapelv: minden egyes témához sok konkrét példát, számolást, konkrét alkalmazást mutatunk be. Bizonyításokat többnyire csak vázlatosan prezentálunk, viszont hangsúlyt helyezünk a szemléletre és a (matematikai és egyéb) jelenségekre.

8. A tantárgy részletes tematikája

Haladó lineáris algebra. (7 tényleges oktatási hét: 28 előadási + 14 gyakorlati óra).

1. A lineáris algebra tanult alapfogalmainak áttekintése (1 hét). Vektortér, mátrix, lineáris egyenletrendszer megoldása. Mátrix determinánsa, rangja, sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, Cayley--Hamilton-tétel, hasonlóság. Bilineáris formák, euklideszi terek. Speciális mátrixok (szimmetrikus, Hermite-, ortogonális, unitér, (szemi-definit). Jordan-normálforma, főtengelytétel.

2. A Moore-Penrose-inverz és alkalmazásai (1 hét). Projekciók. Az általánosított inverz mátrix fogalma, a Moore–Penrose-tétel. Inkonzisztens lineáris egyenletrendszerek közelítő megoldása. Nevezetes lineáris mátrixegyenletek (AXB=C, AX-XB=C, AX-YB=C) és megoldásuk az MP-inverz segítségével.

3. Normák és mátrixfüggvények (1 hét) . A spektrális és az euklideszi (Frobenius-) mátrixnorma, p-normák, kapcsolatuk, egyenlőtlenségek. Sajátértékekre vonatkozó egyenlőtlenségek (Gersgorin, Schur). Mátrixfüggvények, előállításuk polinomokkal, a mátrix-exponenciális. Mátrixfüggvények differenciálása, lineáris differenciál-egyenlet-rendszerek. A Lax-egyenlet.

4. Nem negatív elemű mátrixok (1 hét). Pozitív, reducibilis és irreducibilis mátrixok. Frobenius és Perron tételei (irreducibilis nemnegatív mátrixokra). Egyenlőtlenségek a spektrálsugárra. Sztochasztikus és duplán sztochasztikus mátrixok. Kapcsolat a Markov-láncokkal. Birkhoff tétele, kapcsolat a párosítási feladattal, a Frobenius–König-tétel.

5. Szinguláris értékek szerinti felbontás (SVD) (1 hét). Létezése, egyértelműsége, kapcsolata a poláris felbontással. SVD és alacsony rangú közelítések, Eckart–Young-tétel. Az SVD számítása. A módszer néhány alkalmazása (pszeudoinverz számítása, homogén lineáris egyenletrendszer megoldása, legkisebb négyzetek módszere). A QR-felbontás fogalma. Householder-tükrözések, alkalmazásuk a QR-felbontás számítására.

6. Lineáris mátrixegyenlőtlenségek (1 hét). Konvex halmazok, konvex függvények, konvex optimalizálás, konvex programok, dualitás, a Karush–Kuhn–Tucker-tétel. Az ellipszoid algoritmus. Lineáris mátrix egyenlőtlenségek, alkalmazási példák (stabilitás, SV-minimalizálás, Leontyev-modell). Megoldásuk az ellipszoid-módszerrel és belső pontos algoritmusokkal.

7. Nevezetes alkalmazások (1 hét). A lineáris algebra néhány nevezetes alkalmazása: nemnegatív és szimmetrikus mátrixok az internetes lapokat rangsoroló algoritmusokban; SVD az információkeresés gyakorlatában (vektorteres indexelés, a mögöttes szemantikájú indexelés lineáris algebrai vonatkozásai); hibajavító kódok; titokmegosztás.

Sztochasztika. (7 tényleges oktatási hét: 28 előadási + 14 gyakorlati óra).

1. Valószínűségszámítási alapok ismétlése, eloszlások “függvénytana” (4 óra ea, 2 óra gyak) Valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény. Várható érték, szórásnégyzet, magasabb momentumok. Nevezetes eloszlások. Együttesen értelmezett valószínűségi változók, együttes eloszlás- és sűrűségfüggvény. Várható érték vektor, kovariancia mátrix, alaptulajdonságai, Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség. Nevezetes többdimenziós eloszlások. Sűrűségfüggvények transzformációja leképezésekkel. Többdimenziós normális eloszlás.

2. Generátor- és momentumgeneráló függvények. Határeloszlások és nagy eltérések (8 óra ea, 4 óra gyak.) Generátorfüggvény, alaptulajdonságai. Konvolúció és keverék-eloszlások generátorfüggvénye. Alkalmazások, elágazó folyamatok. Momentumgeneráló függvény, tulajdonságok. Centrális határeloszlás tétel. Nagy eltérések elemei: Bernstein- egyenlőtlenség, Chernoff-korlát, Höeffding-egyenlőtlenség, Kramer-tétel. Alkalmazások sorbanállási problémákra és kapacitás méretezésre.

3. Sztochasztikus folyamatok elemei: Markov-láncok és Markov-folyamatok (8 óra ea, 4 óra gyak.). Mi is egy sztochasztikus folyamat? Véges állapotterű Markov-láncok, állapotok osztályozása, irreducibilitás, periódus, aperiodicitás. Stacionárius mérték, hosszú idejű viselkedés, ergodicitás. Megszámlálható állapotterű Markov-láncok. Alkalmazás születési-halálozási folyamatokra és sorbanállási problémákra. Folytonos idejű Markov-láncok elemei: Poisson folyamat, ugrási ráták, szemléletes jellemzés. Kolmogorov-Chapman egyenletek, infinitezimális generátor. Sorbanállási alkalmazások.

4. A matematikai statisztika elemei (4 óra ea, 2 óra gyak.). Mintavétel, becslések, hipotézisek, statisztikai próbák: u-próba, t-próba, F-próba, khi-négyzet-próba. Maximum likelihood becslés. Lineáris és nemlineáris regresszió.

5. Gyengén stacionárius folyamatok: spektrál-felbontás, spektrál-elmélet elemei (4 óra ea, 2 óra gyak.). Gyengén stacionárius folyamatok Z-n, R-en, jellemzésük a kovariancia-függvénnyel, realizációjuk Gauss-folyamatként. Trigonometrikus folyamatok, autoregresszív és mozgó átlag folyamatok. Stacionárius folyamat spektrális felbontása. Példák. Szűrés, példák szűrőkre.

9. A tantárgy oktatásának módja (előadás, gyakorlat, laboratórium)

A tárgy anyaga előadásokon és gyakorlatokon kerül ismertetésre.

10. Követelmények

a. A szorgalmi időszakban: két zárthelyi

b. A vizsgaidőszakban: a két tárgyblokkból közös vizsga. A vizsgajegy megállapítása felerészben a zárthelyik eredménye és felerészben a vizsga alapján történik

Az aláírás megszerzésének feltétele a zárthelyi dolgozatok teljesítése egyenként legalább 40%-ra. A vizsgára bocsátás feltétele az aláírás megléte.

11. Pótlási lehetőségek

- mindenki legfeljebb egy zárthelyit pótolhat, de azt esetleg kétszer

- két pótzárthelyit tartunk a szorgalmi időszakban, de minden hallgató legfeljebb az egyiken vehet részt (akinek két sikertelen zh-ja van, nem kaphat aláírást)

- egy további pót-pótzárthelyit tartunk a pótlási héten (két feladatsorral, amelyiken mindenki a pótlandó (egy) zárthelyijét pótolhatja).

12. Konzultációs lehetőségek

Vizsgák előtt a hallgatókkal egyeztetve.

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom

[1] Prékopa András: Valószínűségszámítás műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó Budapest.

[2] Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó Budapest, 1972.

[3] Richard Durrett: Probability: Theory and Examples. Duxbury Press, 1995.

[4] V.V. Praszolov: Lineáris algebra, Typotex, 2005.

[5] Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai, Tankönyvkiadó, 1991.

14. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka

Kontakt óra	84
Félévközi készülés órákra	30
Felkészülés zárthelyire	30
Házi feladat elkészítése
Kijelölt írásos tananyag elsajátítása
Vizsgafelkészülés	36
Összesen	180

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta

Név:	Beosztás:	Tanszék, Intézet:
Dr. Rónyai Lajos	egyetemi tanár	Algebra Tanszék
Dr. Tóth Bálint	egyetemi tanár	Sztochasztika Tanszék