Matematika, valószínűségszámítás

Doktoranduszok bevezetése a perkoláció elméletébe

A problémakör rövid ismertetése : Tekintsük a Z^d d-dimenziós egész rácsot, mint végtelen, nem irányított gráfot. A gráf minden egyes élét, egymástól függetlenül, p valószínűséggel érintetlenül hagyjuk és q=1-p valószínűséggel kitöröljük. Az ily módon nyert véletlen gráf összefüggő komponenseit nevezzük fürtöknek(vagy klasztereknek). Természetesen adódnak a következő kérdések: van-e végtelen fürt? Hány végtelen fürt van, ha van egyáltalán ? Kiderül, hogy ennek a viszonylag egyszerű matematikai modellnek megdöbbentően érdekes tulajdonságai vannak : a kontroll-paraméter(p Î [0,1]) sima változásával a modell kvalitatív viselkedése egy kritikus ponton (p_c) drasztikusan megváltozik. A fizikából ismert fázisátmenetek/kritikus jelenségek egy érdekes és ugyanakkor matematikailag is elemezhető paradigmájáról van szó.

Az előadás célja a perkolcióelmélet lényeges problémáinak, eredményeinek áttekintése és a fontosabb nyitott kérdések ismertetése.

Technikai értelemben vett tematika : a perkoláció fázisátmenet: Hammersley tétele;elemi eszközök: Harris egyenlőtlenség, Russo formula ; a perkolációs függvény folytonossága.; a végtelen klaszter unicitása ; van den Berg-Kesten egyenlőtlenség; a kritikus pont egyértelműsége; kritikus exponensek, skálázási relációk; 2-dimenziós elmélet: Harris, Russo-Seymour-Welsh, Kesten tételei; kritikus viselkedés 2-dimenzióban: konform invariancia (sejtések, kezdemények...);Grimmett-Marstrand tétel; nyitott kérdések

(előadás, gyakorlat, laboratórium):

előadás

3. Elővizsga: nincs

i.v.

hetente egyszer

1. G. Grimmett : Percolation. Springer 1989.
2. G. Grimmett : Percolation Theory - Lecture Notes, 1996.
3. H. Kesten : Percolation Theory for Mathematicians. Birkhauser 1982.
4. cikkek
5. Az előadó jegyzetei..

(a tantárgyhoz tartozó tanulmányi idő körülbelüli felosztása a tanórák, továbbá a házi feladatok és a zárthelyik között (a felkészülésre, ill. a kidolgozásra átlagosan fordítandó/elvárható idők félévi munkaórában, kredit x 30 óra, pl. 5 kredit esetén 150 óra)):